Изменение первообразной при линейной замене аргумента — тема, которая пугает многих студентов. Многие думают, что нужно запоминать сложные формулы или искать готовые решения. На самом деле достаточно понять простое правило, которое работает для всех линейных замен. Главное — увидеть связь между исходной функцией и её первообразной после замены. Не нужно быть математиком — достаточно уметь умножать и делить. Уже через десять минут вы будете решать интегралы с линейной заменой без труда. Начните с простого примера и постепенно переходите к сложным задачам.
Основное правило линейной замены
Как выглядит формула в общем виде:
- Если F(x) — первообразная для f(x), то первообразная для f(kx + b) равна (1/k)F(kx + b) + C;
- Коэффициент 1/k появляется из-за дифференцирования сложной функции;
- Константа b не влияет на коэффициент, но участвует в аргументе первообразной.
Пример: первообразная для sin(x) — -cos(x), значит, для sin(2x) она будет -cos(2x)/2. Не перепутайте с нелинейной заменой — правило работает только для линейных аргументов вида kx + b.
Пошаговый процесс нахождения первообразной
Как применить правило на практике:
- Найдите первообразную для функции с аргументом x (например, ∫cos(x)dx = sin(x));
- Замените x на линейный аргумент (kx + b) в найденной первообразной;
- Разделите результат на коэффициент k при x в аргументе.
Пример: ∫e^(3x-2)dx. Первое: первообразная e^x — e^x. Второе: заменяем на e^(3x-2). Третье: делим на 3. Ответ: e^(3x-2)/3 + C. Не забывайте про константу C в окончательном ответе.
Примеры для разных функций
Как правило работает с типичными функциями:
- Для 1/(x+5): первообразная ln|x+5| (k=1, поэтому делить не нужно);
- Для √(2x-3): первообразная (2/3)(2x-3)^(3/2) × (1/2) = (1/3)(2x-3)^(3/2);
- Для 1/(4-3x): первообразная -ln|4-3x|/3 (знак минус из-за отрицательного k).
Не путайте с нелинейной заменой — для x² или √x правило не работает. Однажды студент применил линейное правило к квадратичной функции и получил неверный результат.
Проверка правильности решения
Как убедиться, что первообразная найдена верно:
- Продифференцируйте найденную первообразную;
- Проверьте, получается ли исходная функция;
- Убедитесь, что коэффициенты совпадают.
Пример: производная от e^(3x-2)/3 равна 3e^(3x-2)/3 = e^(3x-2) — совпадает с исходной функцией. Не пропускайте проверку — она помогает избежать ошибок с коэффициентами.
Типичные ошибки студентов
Что часто неправильно делают:
- Забывают разделить на коэффициент k при x;
- Неправильно обрабатывают отрицательные коэффициенты;
- Применяют правило к нелинейным заменам, где оно не работает.
Однажды студент написал первообразную для cos(5x) как -sin(5x), забыв разделить на 5. Через пару примеров вы перестанете делать эти ошибки. Главное — не бояться проверять каждое решение. Помните: линейная замена — один из самых простых случаев, и правило работает всегда, если аргумент линейный. Владение этим методом сэкономит время на экзаменах и контрольных.